Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求證：AC=BD．

Answer 1

證明：
取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，
則EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∵OM=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠3=∠1=∠2，
同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，
∴∠4=∠EFH，
∴EH=HF，
∵EH=AC，F(xiàn)H=BD，
∴AC=BD．
分析：取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，推出EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠3=∠2，∠1=∠4，根據(jù)OM=ON推出∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，推出∠4=∠EFH，得出EH=HF即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是正確作輔助線后得出EH=HF，題目比較典型，有一定的難度．