Question

1．如圖①，在矩形ABCD中，AD=6，∠BDC=30°，將△BCD繞點(diǎn)B逆作時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△BC₀D₀，其中點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C₀，D₀，且點(diǎn)D₀剛好落在CB的延長(zhǎng)線上，直線D₀C₀與AB相交于點(diǎn)E；

（1）求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）求△EBD₀的面積；
（3）如圖②，將△BC₀D₀以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平行移動(dòng)，得到△B₁C₁D₁，其中點(diǎn)B，C₀，D₀的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B₁C₁D₁，當(dāng)點(diǎn)C₁到達(dá)邊CD上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△B₁C₁D₁與矩形ABCD重疊部分的面積為S（圖中陰影部分），請(qǐng)直接寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（4）如題③，在（3）的△B₁C₁D₁平移過(guò)程中，直線D₁C₁與線段AB相交于N，直線B₁C₁與線段BD相交于M，是否存在某一時(shí)刻t，使△MNC為等腰三角形，若存在，求出時(shí)間t，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求旋轉(zhuǎn)角可根據(jù)旋轉(zhuǎn)定義求出∠D₀BD的度數(shù)
（2）△EBD₀面積可求出D₀E和C₀B長(zhǎng)度，根據(jù)三角形面積公式求出面積
（3）此問(wèn)用分段函數(shù)表示，①當(dāng)C₁在矩形ABCD外面，陰影部分是三角形，可用相似求出面積；②當(dāng)C₁在矩形ABCD里面，陰影部分是四邊形，可用間接法求出面積
（4）根據(jù)已知用t表示相關(guān)線段，根據(jù)等腰列出一元二次方程，判斷方程的根即可．

解答 解：（1）
∵△BCD繞點(diǎn)B逆作時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△BC₀D₀，
∴旋轉(zhuǎn)角α=∠D₀BD，
又∵∠BDC=30°，
∴∠DBC=60°，即∠D₀BD=180°-60°=120°，
（2）∵△BCD繞點(diǎn)B逆作時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△BC₀D₀，AD=6，∠BDC=30°，
∴BC=BC₀=6，DC=D₀C₀=6$\sqrt{3}$，
∵∠D₀C₀B=90°，
∴∠C₀BE=30°，
∴${C}_{0}E=2\sqrt{3}$，
∴${S}_{△EB{D}_{0}}=（6\sqrt{3}+2\sqrt{3}）×6×\frac{1}{2}=24\sqrt{3}$；
（3）①當(dāng)C₁在矩形ABCD外面時(shí)，
 S=2t²（0＜t≤3），
 ②當(dāng)C₁在矩形ABCD里面時(shí)，
S=$\frac{-\sqrt{3}{t}^{2}+24\sqrt{3}t-36\sqrt{3}}{6}（3＜t≤9）$；
（4）不能．
如圖③

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB，MR⊥BC，
在矩形ABCD中，AD=6，∠BDC=30°，
可求：AB=$6\sqrt{3}$，B₁D₁=BD=12，
由題意可求∠CBD=∠BB₁C₁=60°，
∴△MBB₁是等邊三角形，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，BB₁=t，BR=$\frac{1}{2}t$，MR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
D₁B=12-t，CR=6-$\frac{1}{2}t$，
在直角三角形D₁BN中，$\frac{BN}{{D}_{1}B}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：BN=$4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}t$，
∴HN=BN-BH=$4\sqrt{3}$-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$t，
由勾股定理可求：MN²=HN²+MH²=$\frac{1}{4}{t}^{2}+48-10t+\frac{25}{12}{t}^{2}$，
MC²=$\frac{3}{4}{t}^{2}+36-6t+\frac{1}{4}{t}^{2}$，
當(dāng)MN²=MC²時(shí)，$\frac{1}{4}{t}^{2}+48-10t+\frac{25}{12}{t}^{2}$=$\frac{3}{4}{t}^{2}+36-6t+\frac{1}{4}{t}^{2}$，
化簡(jiǎn)得：4t²-12t+36=0，
△=b²-4ac＜0，
方程無(wú)解，
所以不存在某一時(shí)刻t，使△MNC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn)，熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，會(huì)用勾股定理解決問(wèn)題，會(huì)根據(jù)等腰三角形討論點(diǎn)的存在性是解題的關(guān)鍵．