(2011•黔南州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,),△AOB的面積是
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式;
(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△AOC的周長最?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)在(2)中x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交直線AB于點(diǎn)D,線段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形,使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2:3?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由三角形S=OB•=可得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2),點(diǎn)A在其上,求得a;
(3)存在點(diǎn)C、過點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F,拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點(diǎn)E、當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí),△AOC的周長最小,由三角形相似,得到C點(diǎn)坐標(biāo).
(4)設(shè)p(x,y),直線AB為y=kx+b,解得k、b,由S四BPOD=S△BPO+S△BOD,S△AOD=S△AOB-S△BOD,兩面積正比可知,求出x.
解答:解:(1)由題意得OB•=
∴B(-2,0).

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2),代入點(diǎn)A(1,),得,
∴y=x2+x,

(3)存在點(diǎn)C、過點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F,拋物線
的對稱軸x=-1交x軸于點(diǎn)E、當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸
與線段AB的交點(diǎn)時(shí),△AOC的周長最小,
∵△BCE∽△BAF,
,
∴CE==,
∴C(-1,).

(4)存在.如圖,設(shè)P(x,y),直線AB為y=kx+b,
,
解得
∴直線AB為y=x+,
S四BPOD=S△BPO+S△BOD=|OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|
=x+-(x2+x),
=-x2-x+x+,
=-x2-x+,
∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=-×2×|x+|=-x+,
==
∴x1=-,x2=1(舍去),
∴p(-,-),
又∵S△BOD=x+,
==
∴x1=-,x2=-2.
P(-2,0),不符合題意.
∴存在,點(diǎn)P坐標(biāo)是(-,-).
點(diǎn)評:本題二次函數(shù)的綜合題,要求會求二次函數(shù)的解析式,考查三角形相似和面積公式等知識點(diǎn),本題步驟有點(diǎn)多,做題需要認(rèn)真細(xì)心.
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(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△AOC的周長最?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)在(2)中x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交直線AB于點(diǎn)D,線段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形,使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2:3?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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C.11或13
D.不能確定

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