Question

如圖，⊙O的直徑AB=6，弦CD⊥AB于H（AH＜HB），⊙O′分別切⊙O，AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．
（1）已知CH=，求cosA的值；
（2）當(dāng)AF•FB=AF+FB時(shí)，求EF的長(zhǎng)；
（3）設(shè)BC=m，⊙O′的半徑為n，用含m的代數(shù)式表示n．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵CD⊥AB，
∴CH²=AH•HB=AH（AB-AH）．
∴=AH（6-AH），
AH²-6AH+8=0，
∴AH=2或AH=4（不合題意，應(yīng)舍去）．
∴CA²=AH•AB=2×6=12，
∴CA=2．
∴cosA==．

（2）∵AF•FB=AF+FB，AF+FB=AB=6，AF＜FB，
∴AF=3-，F(xiàn)B=3+．
連接O’F，O’G，OE，
∵⊙O′分別切AB，CD于F，G，切⊙O于E．
∴O，O′，E三點(diǎn)共線．
∴∠O′FH=∠O′GH=90°．
又CD⊥AB，O′F=O′G，
∴四邊形FHGO’正方形．
設(shè)⊙O′的半徑為r，
在Rt△OO’F中，
OO′²-O′F²=FO²=（BF-OB）²，（3-r）²-r²=（3+-3）²，
∴r=1．
從而OO’=2．
∴∠FOO’=30°，∠FO’O=60°．
∵O′E=O′F，
∴∠E=∠FO′O=30°．
∴∠E=∠FOO′．
∴EF=FO=．

（3）由射影定理，得
BC²=BH•BA=6（BF-FH）=6（BF-n）．①
∵O′O²-O′F²=OF²，
∴（3-n）²-n²=（BF-3）²，9-6n=BF²-6BF+9，BF²=6（BF-n）②
由①②得BF²=BC²，
∴BF=BC．
∴BC²=6（BC-n），
∴m²=6（m-n），
即n=-m²+m．
分析：（1）根據(jù)題意，要求cosA的值，根據(jù)三角函數(shù)的定義知，即求AC：AB的值．
由相交弦定理，先求出AH的長(zhǎng)，就可以求出AC，又AB已知，cosA的值可求；
（2）求EF的長(zhǎng)，可以在△OEF中找線段相互間的關(guān)系，通過(guò)AF•FB=AF+FB，AF+FB=AB=6，AF＜FB，可以求出AF=3-，F(xiàn)B=3+．再求出OF=，根據(jù)題意可以求出∠E=∠FOO’=30°，得出EF=FO=．
（3）用含m的代數(shù)式表示n．可以通過(guò)射影定理，及Rt△OO’F的勾股定理將兩者結(jié)合，找到函數(shù)關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系中三角函數(shù)，線段與線段的關(guān)系，同時(shí)考查了求函數(shù)關(guān)系式．