Question

如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC與⊙O相交于B，C兩點，圓心O在∠PAC的內部，點M是BC的中點．
（1）試探求A，P，O，M四點是否在一個圓上？證明你的結論；
（2）求∠OAM+∠APM的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，OM．由切線的性質知，M是⊙O的弦BC的中點，由垂徑定理知，OM⊥BC．由于OP⊥AP，OM⊥BC；根據直角對的弦是直徑知，A，P，O，M四點是以OA為直徑的圓上的點，所以A，P，O，M四點共圓；
（2）由于A，P，O，M四點共圓，根據圓周角定理得∠OAM=∠OPM，而OP⊥AP，且圓心O在∠PAC的內部，所以∠OPM+∠APM=90°，則∠OAM+∠APM=90°．
解答：解：（1）連接OP，OM；
∵AP與⊙O相切于點P，
∴OP⊥AP．
∵M是⊙O的弦BC的中點，
∴OM⊥BC．
設OA的中點為N，
由OP⊥AP，OM⊥BC知，
Rt△OAP與Rt△OAM斜邊OA上的中線滿足PN=MN=OA，
∴ON=AN=PN=MN．
∴A，P，O，M四點到點N的距離相等，
∴A，P，O，M四點共圓．

（2）由A，P，O，M四點共圓，得∠OAM=∠OPM，
而OP⊥AP，且圓心O在∠PAC的內部，
∴∠OPM+∠APM=90°．
∴∠OAM+∠APM=90°．
點評：本題利用了切線的性質，直徑對的圓周角是直角，直角對的弦是直徑，直角三角形的性質，圓周角定理，垂徑定理，求解．