Question

如圖，反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象經過線段OA的端點A，O為原點，作AB⊥x軸于點B，點B的坐標為（2，0），且OA=

13

．
（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象恰好經過DC的中點E，求直線AE的函數表達式；
（3）若直線AE與x軸交于點M、與y軸交于點N，請你探索線段AN與線段ME的大小關系，寫出你的結論并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）根據勾股定理求出AB的長，得出點A的坐標，再代入計算即可，
（2）根據E是DC的中點，E的縱坐標已知，代入反比例函數的解析式即可求得E的坐標，然后利用待定系數法即可求得直線的解析式；
（3）首先求得M、N的坐標，延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的長，即可證得．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵OB=2，OA=

13

，
∴AB=3，
∴A點的坐標為（2，3），
∴k=xy=6；

（2）∵DC由AB平移得到，點E為DC的中點，
∴點E的縱坐標為

3

2

，
∵點E在雙曲線上，
∴點E的坐標為（4，

3

2

），
設直線MN的函數表達式為y=k₁x+b，將點A、E代入得：

3=2k1+b 3 2 =4k1+b

，
解得k₁=-

3

4

，b=

9

2

，
∴直線MN的函數表達式為y=-

3

4

x+

9

2

．

（3）結論：AN=ME；
理由：由y=0可得x=6，由x=0可得y=

9

2

，
則點M（6，0），N（0，

9

2

），
延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=

3

2

，
∵CM=6-4=2=AF，EC=NF，
在Rt△ANF和Rt△MEC中，

AF=CM ∠NFA=∠ECM EC=NF

，
∴Rt△ANF≌Rt△MEC，
∴AN=ME．

點評：此題考查了反比例函數的綜合，用到的知識點是勾股定理、全等三角形的判定與性質、待定系數法求一次函數的解析式，求得E的坐標是關鍵．