【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí),求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí),連接DQ.過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG=2 DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知,C(0,3),

令y=0,則0=﹣x2﹣2x+3,解得x=﹣3或x=1,

∴A(﹣3,0),B(1,0)


(2)

解:方法一:由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知,對(duì)稱軸為x=﹣1,

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,則PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10,

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大.

∵A(﹣3,0),C(0,3),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

解得k=1,b=3,

∴解析式y(tǒng)=x+3,當(dāng)x=﹣2時(shí),則E(﹣2,1),

∴EM=1,AM=1,

∴S= AMEM=

方法二:

設(shè)P(t,﹣t2﹣2t+3),Q(﹣2﹣t,﹣t2﹣2t+3),

∴矩形PQMN周長(zhǎng)為:2PQ+2PM,

∴2PQ+2PM=2(﹣2﹣t﹣t)+2(﹣t2﹣2t+3),

∴2PQ+2PM=﹣2t2﹣8t+2,

∴當(dāng)t=﹣2時(shí),周長(zhǎng)最大,

∴P(﹣2,3),

∵A(﹣3,0),C(0,3),

∴l(xiāng)AC:y=x+3,

∵點(diǎn)E在直線AC上,且EX=PX

把x=﹣2代入,

∴E(﹣2,1),

∴SAEM= AM×EM= ×1×1=


(3)

解:方法一:∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2,拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1,

∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合,Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合,

∴DQ=DC,

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3,解得y=4,

∴D(﹣1,4)

∴DQ=DC=

∵FG=2 DQ,

∴FG=4,

設(shè)F(n,﹣n2﹣2n+3),

則G(n,n+3),

∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方,

∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4,

解得:n=﹣4或n=1.

∴F(﹣4,﹣5)或(1,0)

方法二:

∵D為拋物線頂點(diǎn),∴D(﹣1,4),Q(0,3),

∴DQ= ,

∵FG=2 DQ=2 × =4,

∴t2+3t﹣4=0,

∴t1=﹣4,t2=1,

∴F1(﹣4,﹣5),F(xiàn)2(1,0)


【解析】方法一:(1)通過(guò)解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo),令y=0,解方程得出方程的解,即可求得A、B的坐標(biāo).(2)設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=﹣2m2﹣8m+2,將﹣2m2﹣8m+2配方,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出m的值,然后求得直線AC的解析式,把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng),從而求得三角形的面積.(3)設(shè)F(n,﹣n2﹣2n+3),根據(jù)已知若FG=2 DQ,即可求得.
方法二:(1)略.(2)求出P,Q的參數(shù)坐標(biāo),并得出周長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式,求出P點(diǎn),進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo),并求出△AEM的面積.(3)求出D點(diǎn)坐標(biāo),并求出DQ長(zhǎng)度;再求出F,G的參數(shù)坐標(biāo),并得到FG的函數(shù)表達(dá)式,利用FG=DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.

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