Question

如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）
（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC，請說明P點在線段AB上的位置：

（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ-BQ=PQ，求

PQ

AB

的值．

（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有CD=

1

2

AB，此時C點停止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結(jié)論：①PM-PN的值不變；②

MN

AB

的值不變，可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)C、D的運動速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點P在線段AB上的

1

3

處；
（2）由題設畫出圖示，根據(jù)AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關系；
（3）當點C停止運動時，有CD=

1

2

AB，從而求得CM與AB的數(shù)量關系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以MN=PN-PM=

1

12

AB．

解答：解：（1）根據(jù)C、D的運動速度知：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴點P在線段AB上的

1

3

處；

（2）如圖：

∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ；
又AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=

1

3

AB，
∴

PQ

AB

=

1

3

．
當點Q'在AB的延長線上時
AQ'-AP=PQ'
所以AQ'-BQ'=PQ=AB
所以

PQ

AB

=1；

（3）②

MN

AB

的值不變．
理由：如圖，當點C停止運動時，有CD=

1

2

AB，
∴CM=

1

4

AB；

∴PM=CM-CP=

1

4

AB-5，
∵PD=PB-BD=

2

3

AB-10，
∴PN=

1

2

(

2

3

AB-10)=

1

3

AB-5，
∴MN=PN-PM=

1

12

AB；
當點C停止運動，D點繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以，

MN

AB

=

1 12 AB

AB

=

1

12

．

點評：本題考查了比較線段的長短．利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關系也是十分關鍵的一點．