Question

已知拋物線y=-x²-2mx-m²+2m+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），
（1）求m的值；
（2）拋物線與直線y=2x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B（A在右側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上AB之間的點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=2x上AB之間的點(diǎn)，且PQ∥y軸．求PQ長(zhǎng)的最大值；
（3）在（2）的條件下，求當(dāng)△OPQ為直角三角形時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后用m表示出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得m的值；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線y=2x的解析式可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到關(guān)于PQ的長(zhǎng)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得PQ的最大值；
（3）顯然∠PQO＜90°，那么可分兩種情況考慮：
①∠OPQ=90°，此時(shí)P為拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的解析式，即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)，將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線y=2x中，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②∠POQ=90°，若設(shè)PQ與x軸的交點(diǎn)為D，在Rt△OPQ中，OD⊥PQ，根據(jù)射影定理得OD²=DP•DQ，由此可得到關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)（即Q點(diǎn)橫坐標(biāo)）的方程，從而求得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，將其代入直線y=2x中，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）由于拋物線y=-x²-2mx-m²+2m+1=-（x+m）²+2m+1，
即頂點(diǎn)坐標(biāo)（-m，2m+1），
而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3）；
故m=1；（2分）

（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-（x+1）²+3，
即y=-x²-2x+2；
設(shè)P（x，-x²-2x+2），
因?yàn)镻Q∥y軸，
所以設(shè)Q（x，2x），
所以：PQ=（-x²-2x+2）-2x=-x²-4x+2=-（x+2）²+6；（2分）
當(dāng)x=-2時(shí)，PQ最大值=6；（2分）

（3）因?yàn)椤螾QO不可能為直角，
所以分兩種情形討論：
①當(dāng)∠QPO為直角時(shí)，P為拋物線與x軸的左側(cè)的交點(diǎn)；
拋物線：y=-x²-2x+2，令y=0-x²-2x+2=0，
解得：x₁=-1+，x₂=-1-；
所以P（-1-，0）；（1分）
當(dāng)x=-1-時(shí)，y=2x=2（-1-）=-2-2，
所以Q（-1-，-2-2）；（2分）
②當(dāng)∠POQ為直角時(shí)，設(shè)PQ與x軸交于D點(diǎn)；
根據(jù)題意：△OPD∽△OQD，
得：OD²=PD•QD；
即x²=（-x²-2x+2）（-2x），
解得x=，
取x＜0，則x=；
當(dāng)x=時(shí)，y=2x=，
所以Q（，）；（2分）
所以，符合條件的Q坐標(biāo)為（-1-，-2-2）或（，）．（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、直角三角形的判定等知識(shí)；（3）題中，由于直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定，一定要分類討論，以免漏解．