Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)G，使BG=AB，連結(jié)GO交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）連結(jié)CG，若AE=3cm，延長(zhǎng)AE交線段CG于點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)定義可得AC=2AO，然后求出AO=AB，AC=AG，再利用“邊角邊”證明△AOG和△ABC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABC=∠AOG=90°，再利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CE，然后求出四邊形AECF為平行四邊形，最后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明；
（2）先求出∠ACB=30°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)EA=EC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠EAO=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OE，再利用勾股定理列式計(jì)算求出AO，從而得到AC的長(zhǎng)度，然后求出∠CAE=∠GAE=30°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CM，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AM．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵BG=AB，AC=2AB，O為AC中點(diǎn)，
∴AO=CO=AB，AC=AG，
在△AOG和△ABC中，

AO=AB ∠BAC=∠OAG AC=AG

，
∴△AOG≌△ABC（SAS），
∴∠ABC=∠AOG=90°，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF為菱形；

（2）在Rt△ABC中，由AB=

1

2

AC可推出∠ACB=30°，
由菱形可得EA=EC，
∴∠EAO=30°，
∵AE=3cm，
∴OE=

1

2

AE=

3

2

cm，AO=

AE2-OE2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

cm，
AC=2AO=3

3

cm，
延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)M，∵AC=AG且∠CAE=∠GAE=30°，
∴AM⊥CG，
∴CM=

1

2

AC=

3 3

2

cm，
∴AM=

AC2-CM2

=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)與判定方法找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．