Question

已知函數(shù)y₁=ax²+bx+c，y₂=ax+b（a＞b＞c），當(dāng)x=1時(shí)，y₁=0．
（Ⅰ）證明：y₁與y₂的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)y₁與y₂的圖象交點(diǎn)A，B在x軸上的射影為A₁，B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)自變量x=1時(shí)函數(shù)值為0，將其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正負(fù)不能確定，
聯(lián)系兩個(gè)函數(shù)，即兩線相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴兩個(gè)函數(shù)圖象必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）上述兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A．B在x軸上的射影分別為A₁．B₁，
根據(jù)A₁，B₁為ax²+bx+c=ax+b的兩根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有兩根為
x₁=，x₂=，
A₁B₁=
=
=，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=
=
=． 　　　　
由a＞b，a＞0，有 ＞，
即1＞，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　 ＞-，
∴＜＜1分別代入A式為，
∴＜A₁B₁＜2 ．
分析：（1）將兩個(gè)解析式組成一個(gè)方程組后，然后轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程，由根的判別式就可以得出結(jié)論．
（2）由條件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的橫坐標(biāo)，由數(shù)軸上的點(diǎn)表示出A₁B₁的值，確定出 的取值范圍，從而確定出A₁B₁的范圍，得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根的判別式，勾股定理的運(yùn)用，函數(shù)值的運(yùn)用及韋達(dá)定理的運(yùn)用，利用韋達(dá)定理得出|A₁B₁|的取值范圍是解題關(guān)鍵．