Question

已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E為CD的中點．
（1）如圖（1）當(dāng)點M在線段DE上時，以AM為腰作等腰直角三角形AMN，判斷NE與MB的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論；
（2）如圖（2）當(dāng)點M在線段EC上時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．

Answer 1

解：（1）NE=MB且NE⊥MB．

（2）成立．
理由：連接AE．

∵E為CD中點，AB=BC=CD，
∴AB=EC．
又　AB∥CD，
即　AB∥CE．
∴四邊形ABCE為平行四邊形．
∵∠C=90°，
∴四邊形ABCE為矩形．
又　AB=BC，
∴四邊形ABCE為正方形．
∴AE=AB．
∵等腰直角三角形AMN中，
∴AN=AM，∠NAM=90°．
∴∠1+∠2=90°．
又∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△NAE≌△MAB．
∴NE=MB．
延長NE、BM交于點F．
由△NAE≌△MAB可得，
∠AEN=∠ABM．
∴∠4=∠6．
∵∠5=∠6，
∴∠4=∠5．
又∠EMF=∠BMC，
∴∠EFB=∠C=90°．
∴BM⊥NE．
分析：（1）NE=MB且NE⊥MB，可以利用測量的方法得到結(jié)論；
（2）首先證明四邊形ABCE為正方形，進(jìn)而可以證得△NAE≌△MAB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得：NE=MB；延長NE、BM交于點F．證明∴∠EFB=∠C=90°即可證得：NE⊥MB．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的判定與性質(zhì)，正確證得四邊形ABCE為平行四邊形是關(guān)鍵．