Question

甲題：關(guān)于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²=0的實(shí)數(shù)解為x₁和x₂．
（1）求m的取值范圍．
（2）當(dāng)-=0時(shí)，求m的值．
乙題：如圖，在△ABC中，AC=AB，以AB為直徑的半⊙O交AC于點(diǎn)E交BC于點(diǎn)D，連AD、BE．
（1）求證：△BEC∽△ADC；
（2）BC²=2AB•CE．

Answer 1

甲題：解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)解為x₁和x₂，
∴△=（2m+1）²-4m²=4m+1≥0，
解得m≥-；

（2）∵x₁²-x₂²=0，
∴x₁=x₂或x₁=-x₂，
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，△=4m+1=0，
解得，m=-，
當(dāng)x₁=-x₂時(shí)，x₁+x₂=-（2m+1）=0，
解得m=-，
∵-＜-，
∴兩解互為相反數(shù)時(shí)不符合題意，舍去，
故，m的值為-；

乙題：（1）證明：∵AB為半⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
又∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；

（2）∵AC=AB，∠ADB=90°，
∴BD=CD=BC（等腰三角形三線合一），
∵CD•BC=CE•AC，
∴BC•BC=CE•AB，
即BC²=2AB•CE．
分析：甲題：（1）根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解，根的判別式△≥0列式求解即可；
（2）根據(jù)兩解的平方相等，分兩個(gè)解相等與互為相反數(shù)兩種情況求解；
乙題：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB=∠AEB=90°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠ADC=∠BEC，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似證明；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=BC，然后根據(jù)割線定理列式整理即可得證．
點(diǎn)評(píng)：甲題主要考查了一元二次方程的根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，（2）要分兩解相同與互為相反數(shù)兩種情況討論；乙題主要考查了相似三角形的判定，以及割線定理，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADB=∠AEB=90°是解題的關(guān)鍵．