Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，M，N分別是AD，CD的中點(diǎn)，連接MN，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．

（1）判斷MN與AC的位置關(guān)系；

（2）求點(diǎn)D由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN所掃過區(qū)域的面積；

（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）MN∥AC；

（2）線段MN所掃過區(qū)域的面積為12；

（3）當(dāng)t=5或6或時(shí)，△DMN為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）利用三角形中位線證明即可；

（2）分別取△ABC三邊AC，AB，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，并連接EG，F(xiàn)G，根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是AFGE的面積求解即可；

（3）分三種情況：①當(dāng)MD=MN=3時(shí)，②當(dāng)MD=DN，③當(dāng)DN=MN時(shí)，分別求解△DMN為等腰三角形即可．

試題解析：（1）∵在△ADC中，M是AD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，

∴MN∥AC；

（2）如圖1，分別取△ABC三邊AC，AB，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，并連接EG，F(xiàn)G，

根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是AFGE的面積，

∵AC=6，BC=8，

∴AE=3，GC=4，

∵∠ACB=90°，

∴S四邊形AFGE=AEGC=3×4=12，

∴線段MN所掃過區(qū)域的面積為12．

（3）據(jù)題意可知：MD=AD，DN=DC，MN=AC=3，

①當(dāng)MD=MN=3時(shí)，△DMN為等腰三角形，此時(shí)AD=AC=6，

∴t=6，

②當(dāng)MD=DN時(shí)，AD=DC，如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AC交AC于H，則AH=AC=3，

∵cosA=，

∴，解得AD=5，

∴AD=t=5．

③如圖3，當(dāng)DN=MN=3時(shí)，AC=DC，連接MC，則CM⊥AD，

∵cosA=，即，

∴AM=，

∴AD=t=2AM=，

綜上所述，當(dāng)t=5或6或時(shí)，△DMN為等腰三角形．