Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交⊙O的切線BE于點E，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DF=3，DE=2
①求值；
②求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

證明：（1）連接OD
∵OA=OD，∴∠1=∠2
∵∠1=∠3，∴∠2=∠3
∴OD∥AF
∵DF⊥AF，∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切線
（2）①解：連接BD
∵直徑AB
∴∠ADB=90°
∵圓O與BE相切
∴∠ABE=90°
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°
∴∠DAB=∠DBE
∴∠DAB=∠FAD
∵∠AFD=∠BDE=90°
∴△BDE∽△AFD
∴
（2）②解：連接OC，交AD于G
由①，設BE=2x，則AD=3x
∵△BDE∽△ABE∴
∴
解得：x₁=2，（不合題意，舍去）
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8
∴AB=，∠1=30°
∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60°
∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG
∴△ACG≌△DOG，∴S_△AGC=S_△DGO
∴S_陰影=S_扇形COD=
分析：（1）作輔助線，連接OD．根據(jù)切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；
（2）①連接BD．根據(jù)BE、DF兩切線的性質(zhì)證明△BDE∽△ABE；又由角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對應邊成比例求得；
②連接OC，交AD于G．由①，設BE=2x，則AD=3x．利用①中的△BDE∽△ABE的對應邊成比例的性質(zhì)求得，據(jù)此列出關(guān)于x的方程，解方程求得x=2，繼而可以求出AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8；然后由勾股定理知AB=4，在直角三角形ABE中求得∠1=30°；再由三角形的角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及邊角關(guān)系求得AG=DG，所以△ACG≌△DOG；最后根據(jù)兩個全等三角形的面積相等的性質(zhì)求扇形的面積即可．
點評：本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及扇形面積的計算．比較復雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答．