Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上的點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連接BF，過C作⊙O的切線CE交BF于E，且CE⊥BF．
（1）求證：AC=CF；
（2）若CF=2，D在直徑AB上，AC=AD，∠CAB=30°，CD延長線交⊙O于M，求CM的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵CE是⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥BF，
∴OC∥BF，
∵OA=OB，
∴AC=CF；

（2）解：連接BC，作直徑CN，連接MN，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=CF=2，∠CAB=30°，
∴AB==4，
即CD=4，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=30°，
∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠NCM=75°-30°=45°，
∵CN是直徑，
∴∠CMN=90°，
在Rt△CMN中，cos45°=，
CM=2．
分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質得出OC⊥CE，推出OC∥BF，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出即可；
（2）連接BC，作直徑CN，連接MN，求出∠ACD=30°，∠ACD=75°，求出∠MCN=45°，求出直徑AB，得出CD長，在Rt△CMN中得出cos45°=，求出即可．
點評：本題考查了切線性質，平行線的判定，平行線分線段成比例定理，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．