Question

關于x的二次函數(shù)+，其中a為銳角，則：
①當a為30°時，函數(shù)有最小值-；
②函數(shù)圖象與坐標軸可能有三個交點，并且當a為45°時，連接這三個交點所圍成的三角形面積小于1；
③當a＜60°時，函數(shù)在x＞1時，y隨x的增大而增大；
④無論銳角a怎么變化，函數(shù)圖象必過定點．
其中正確的結(jié)論有

1. A.
   ①②
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：①由于2sina＞0，所以函數(shù)一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫成頂點式可得函數(shù)的最小值．
②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標軸的交點可能有三個：
與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點；當拋物線經(jīng)過原點時，拋物線的圖象與坐標軸只有兩個交點．
首先將a的值代入解析式，先設拋物線與x軸的兩個交點橫坐標為x₁、x₂，那么這兩點間的距離可表示為|x₁-x₂|=，以這條線段為底，拋物線與y軸交點縱坐標的絕對值為高即可得到三交點圍成的三角形的面積值，然后判斷是否小于1即可．
③由①知，拋物線的開口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對稱軸方程，若x=1在拋物線對稱軸右側(cè)，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對稱軸的左側(cè)，那么隨x的增大，y值先減小后增大．
④圖象若過定點，那么函數(shù)值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項拿出來，然后令sina的系數(shù)為0，可據(jù)此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個定點的坐標．
解答：①當a=30°時，sina=，二次函數(shù)解析式可寫作：y=x²-x=（x-）²-；
所以當a為30°時，函數(shù)的最小值為-；故①正確．
②令y=0，則有：2sinax²-（4sina+）x-sina+=0，
△=（4sina+）²-4×2sina×（-sina+）=24sin²a+＞0，
所以拋物線與x軸一定有兩個交點，再加上拋物線與y軸的交點，即與坐標軸可能有三個交點（當圖象過原點時，只有兩個交點）；
設拋物線與x軸的交點為（x₁，0）、（x₂，0）；
當a=45°時，sina=，得：y=x²-（2+）x-，則：
三角形的面積 S=|x₁-x₂|×=×=×≈0.3＜1
故②正確．
③∵2sina＞0，且對稱軸x=-=1+＞1，
∴x=1在拋物線對稱軸的左側(cè)，因此 x＞1時，y隨x的增大先減小后增大；
故③錯誤．
④y=2sinax²-（4sina+）x-sina+=sina（2x²-4x-1）-x+；
當2x²-4x-1=0，即 x=1±時，拋物線經(jīng)過定點，且坐標為：（1+，-）、（1-，）；
故④正確．
綜上，正確的選項是①②④，故選C．
點評：此題雖然是選擇題，但難度和計算量都比較大，將三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合在一起的形式也加大了題目的難度．主要涉及到：二次函數(shù)最值的求法、三角形面積的求法、二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式的聯(lián)系等幾方面的知識，這就要求同學對基礎知識的牢固掌握并進一步做到靈活運用．