Question

如圖，Rt△OAC是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，OA和OC是方程x2-(3+

3

)x+3

3

=0的兩根（OA＞OC），∠CAO=30°，將Rt△OAC折疊，使OC邊落在AC邊上，點O與點D重合，折痕為CE．
（1）求線段OA和OC的長；
（2）求點D的坐標；
（3）設點M為直線CE上的一點，過點M作AC的平行線，交y軸于點N，是否存在這樣的點M，使得以M、N、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過解答題目中的一元二次方程的根就是OA、OC的長．
（2）由折紙可以知道CD=OC，從而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D點的坐標．
（3）存在滿足條件的M點，利用三角形全等和平行線等分線段定理可以求出M點對應的坐標．

解答：解：（1）解方程x2-(3+

3

)x+3

3

=0得：
x1=

3

，x2=3
∵OA＞OC
∴OA=3，OC=

3

；

（2）在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC=2

3

由軸對稱得：CO=CD=

3

∴AD=

3

，作DF⊥OA，且∠CAO=30°
∴DF=

3

2

，由勾股定理得：
AF=

3

2

∴OF=

3

2

，∴OF=AF
∴D(

3

2

，

3

2

)；

（3）∵M₁N₁∥AC，
∠N₁M₁F=∠ADF，∠FN₁M₁=∠FAD
∵OF=AF
∴△ADF≌△N₁M₁F（AAS），
∴M₁F=DF=

3

2

，N₁F=AF=

3

2

∴M1(

3

2

，-

3

2

)，作MG⊥OA，
∵四邊形MCDN和四邊形CN₁M₁D是平行四邊形
∴MC=ND，ND=CM₁
∴MC=CM₁
∴GO=OF=

3

2

，OE=1
∴GE=

5

2

∴EOC△∽△EGM
∴

EO

GE

=

CO

MG

∴

1

5 2

=

3

MG

解得：
MG=

5 3

2

∴M(-

3

2

，

5 3

2

)

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了一元二次方程的根，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的運用．