Question

如圖，已知：AC=BC，AC⊥BC，AE⊥CF，BF⊥CF，C、E、F分別為垂足，且∠BCF=∠ABF，CF交AB于D．
（1）判斷△BCF≌△CAE，并說明理由．
（2）判斷△ADC是不是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

（1）解：△BCF≌△CAE．
理由如下：∵AC⊥BC，AE⊥CF，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
∵AE⊥CF，BF⊥CF，
∴∠AEC=∠F=90°，
在△BCF和△CAE中，
∵，
∴△BCF≌△CAE（AAS）；

（2）解：△ADC是等腰三角形．
理由如下：∵AC⊥BC，BF⊥CF，
∴∠ACB=∠F=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠BDF+∠ABF=90°，
∵∠BCF=∠ABF，
∴∠ACD=∠BDF，
又∵∠BDF=∠ADC（對頂角相等），
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
故△ADC是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可以推出∠CAE=∠BCF，然后利用“角角邊”即可證明；
（2）根據(jù)等角的余角相等可得∠ACD=∠BDF，再根據(jù)對頂角相等可得∠BDF=∠ADC，從而得到∠ACD=∠ADC，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AC=AD，從而得證．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，是基礎題，難度不大，（1）中求出∠CAE=∠BCF是解題的關(guān)鍵．