Question

（2013•綏化）如圖，已知拋物線y=

1

a

（x-2）（x+a）（a＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．
（1）若拋物線過點(diǎn)M（-2，-2），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，解答下列問題；
①求出△BCE的面積；
②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使CH+EH的值最小，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將M坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值即可；
（2）①求出的a代入確定出拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出B與C坐標(biāo)，令x=0求出y的值，確定出E坐標(biāo)，進(jìn)而得出BC與OE的長(zhǎng)，即可求出三角形BCE的面積；②根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸方程為直線x=-1，根據(jù)C與B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BE，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，即為所求，設(shè)直線BE解析式為y=kx+b，將B與E坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線BE解析式，將x=-1代入直線BE解析式求出y的值，即可確定出H的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將M（-2，-2）代入拋物線解析式得：-2=

1

a

（-2-2）（-2+a），
解得：a=4；

（2）①由（1）拋物線解析式y(tǒng)=

1

4

（x-2）（x+4），
當(dāng)y=0時(shí)，得：0=

1

4

（x-2）（x+4），
解得：x₁=2，x₂=-4，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，
∴B（-4，0），C（2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，得：y=-2，即E（0，-2），
∴S_△BCE=

1

2

×6×2=6；
②由拋物線解析式y(tǒng)=

1

4

（x-2）（x+4），得對(duì)稱軸為直線x=-1，
根據(jù)C與B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線x=-1對(duì)稱，連接BE，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，即為所求，
設(shè)直線BE解析式為y=kx+b，
將B（-4，0）與E（0，-2）代入得：

-4k+b=0 b=-2

，
解得：

k=- 1 2 b=-2

，
∴直線BE解析式為y=-

1

2

x-2，
將x=-1代入得：y=

1

2

-2=-

3

2

，
則H（-1，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．