Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=150°時，試判斷△AOD 的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；
（2）根據(jù)全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；
（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．

解答：解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．--（1分）
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形．--（1分）

（2）△AOD是Rt△．--（1分）
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△．--（2分）

（3）∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①當(dāng)∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，
∴α=125°．--（2分）
②當(dāng)∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，
∴α=140°．--（2分）
③當(dāng)∠ADO=∠OAD時，
α-60°=50°，
∴α=110°．--（2分）
綜上所述：當(dāng)α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．--（1分）

點(diǎn)評：綜合考查了全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；注意應(yīng)分類探討三角形為等腰三角形的各種情況．