Question

如圖，點(diǎn)A、B分別為拋物線y=x²+bx+4、y=x²-2x+c與y軸交點(diǎn)，兩條拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0）．點(diǎn)P、Q分別在拋物線y=x²+bx+4、y=x²-2x+c上，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方，PQ平行y軸．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求b和c的值．
（2）求以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)m的值．
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值？并求出這個(gè)最大值．
（4）直接寫(xiě)出線段PQ的長(zhǎng)度隨m增大而減小的m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵兩條拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0），
∴-×6²+6b+4=0，
解得b=，
×6²-2×6+c=0，
解得c=6；

（2）根據(jù)題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），
所以，AB=2，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-m²+m+4），
∵PQ∥y軸，
∴點(diǎn)Q（m，m²-2m+6），
∴PQ=（-m²+m+4）-（m²-2m+6）=-m²+m+4-m²+2m+6=-m²+m-2，
∴當(dāng)PQ=AB時(shí)，-m²+m-2=2，
整理得，3m²-20m+24=0，
解得m₁=，m₂=，
故以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，m的值為或；

（3）由（2）知，PQ=-m²+m-2=-（m-）²+，
所以，當(dāng)m=時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最大，線段PQ的最大長(zhǎng)度為；

（4）由（3）知，PQ=-（m-）²+，
所以，線段PQ的長(zhǎng)度隨m增大而減小的m的取值范圍是≤m＜6．
分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入兩拋物線解析式，計(jì)算即可求出b、c的值；
（2）求出A、B的坐標(biāo)，然后求出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)利用拋物線解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后表示出PQ的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等列出方程，然后求解即可得到m的值；
（3）根據(jù)線段PQ的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，再利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答即可；
（4）根據(jù)PQ的表達(dá)式的頂點(diǎn)式形式，利用二次函數(shù)的增減性解答即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的增減性，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c的值是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．