Question

（2013•同安區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，從較短邊AD上找一點E，過點E剪下一個正三角形和一個正方形，它們邊長分別為DE和AE．設(shè)矩形相鄰兩邊長分別為6和

3

+4，當(dāng)DE為

4

時，使得剪下的正三角形的面積和正方形的面積之和最小，最小值為

4

3

+3

．

Answer 1

分析：設(shè)DE=x，則AE=

3

+4-x，剪下的正三角形的面積和正方形的面積之和為y，根據(jù)正三角形和正方形的面積公式得y=

3

4

x²+（

3

+4-x）²，整理后發(fā)現(xiàn)y是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：設(shè)DE=x，則AE=

3

+4-x，剪下的正三角形的面積和正方形的面積之和為y，
由題意，得y=

3

4

x²+（

3

+4-x）²
=

3

4

x²+3+16+x²+8

3

-2

3

x-8x
=（

3

4

+1）x²-（2

3

+8）x+（19+8

3

），
∵

3

4

+1＞0，
∴當(dāng)x=

2 3 +8

2( 3 4 +1)

=4時，y有最小值，
最小值是：

4( 3 4 +1)(19+8 3 )-(2 3 +8)2

4( 3 4 +1)

=4

3

+3．
故答案為4，4

3

+3．

點評：本題考查了正三角形和正方形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次根式的化簡，難度適中，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡是本題的難點．