Question

在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得OB，連接AB，作BD⊥直線CO于D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，1）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若AB中點(diǎn)為M，連接CM，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿射線CM以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿線段CD以每秒1個(gè)長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止，設(shè)△PQO的面積為S（S≠0），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T秒，求S與T的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量T的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在P點(diǎn)，使四邊形以P、O、B、N（N為平面上一點(diǎn)）為頂點(diǎn)的矩形？若存在，求出T的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)AB中點(diǎn)為M，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出CM的解析式，過點(diǎn)P做PH⊥CO交CO于點(diǎn)H，用t表示出OQ和PH的長，根據(jù)S=OQ•PH即可求出S與T的函數(shù)關(guān)系式；
（3）此題需分四種情況分別求出T的值即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∵∠BDO=90°，
∠OBD+∠BOD=90°，
∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC≌△OBD，
∴AC=OD，CO=BD
∵A（-3，1），
∴AC=OC=1，OC=BD=3，
∴B（1，3），
∴y=x+；

（2）M（-1，2），C（-3，0），
∴直線MC的解析式為：y=x+3
∴∠MCO=45°，
過點(diǎn)P做PH⊥CO交CO于點(diǎn)H，
S=OQ•PH=（3-t）×t=-t²+t（0＜t＜3）
或S=（t-3）t=t²-t（3＜t≤4）；

（3）t₁=，t₂=3，t₃=，t₄=2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意分類討論，關(guān)鍵是能用t表示出線段的長度求出解析式．