Question

（本題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的拋物線(xiàn)y=ax2+bx與直線(xiàn)y=﹣x+4交于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．

（1）求a，b的值；（3分）

（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PM∥OB交第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥MC于點(diǎn)F，設(shè)PF的長(zhǎng)為t，MN的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（4分）

（3）如圖（3），將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15度交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)C, 點(diǎn)P為線(xiàn)段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、點(diǎn)A不重合），以點(diǎn)O為圓心、以O(shè)P為半徑的圓弧與線(xiàn)段OC交于點(diǎn)M，以點(diǎn)A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)N，連接MN．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形OMNA的面積有最大值還是有最小值？請(qǐng)求出該值．（5分）

Answer 1

（1）a=﹣1，b=4；（2）d=4t；（3）四邊形OMNB的面積有最小值，最小值為3．

【解析】

試題分析：（1）利用已知得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法得a，b的值；

（2）已知MN=d，PF=t，由圖可知MN=MF+FN，不妨將MF和FN用PF代替，即可得到MN與PF的關(guān)系，利用45°的直角三角形和平行線(xiàn)性質(zhì)可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得==3，從而有MF=3PF=3t，從而得出d與t的函數(shù)關(guān)系；

（3）設(shè)OP=m，四邊形OMNB的面積為S，先連接ON、AM，再證△OAN≌△ACM（SAS），可知CM＝AN＝AP，AB=BC=4，過(guò)M作MF⊥AC,垂足為F,則MF=MCsin60=，分別表示△OAC和△MNC的面積，然后求面積的差得到四邊形OMNB的面積為S，根據(jù)關(guān)系式求最值．

試題解析：【解析】
（1）∵y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，∴A（4，0），

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且直線(xiàn)y=﹣x+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴B（1，3），

∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，3），

∴，解得：，∴a=﹣1，b=4；

（2）如圖，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MP交x軸于點(diǎn)E，

∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵M(jìn)C⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，

∴∠MPF=∠MEC，∵M(jìn)E∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴==3，

∴MF=3PF=3t，∵M(jìn)N=MF+FN，∴d=3t+t=4t；

（3）四邊形OMNB的面積有最小值．

設(shè)OP=m，四邊形OMNB的面積為S，先連接ON、AM，

再證△OAN≌△ACM（SAS），可知CM＝AN＝AP，

AB=BC=4， S△ABC=×42=，∴CM=AN= AP=4－m，CN=OP=m，

過(guò)M作MF⊥AC,垂足為F,

則MF=MCsin60=，

∴S△CMN===，

∴S=S△OAC－S△CMN

=－（）

=，

∴在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形OMNA的面積有最小值為3．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)）后，能寫(xiě)成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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