【題目】1)如圖 1 所示, ABC AEF 為等邊三角形,點 E ABC 內(nèi)部,且 E 到點 A、BC 的距離分別為 3、4、5,求∠AEB 的度數(shù).

2)如圖 2,在 ABC 中,∠CAB=90°AB=AC,M、N BC 上的兩點,且∠MAN=45°,將ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ACF.求證:MN= NC+BM(提示:旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等)

【答案】1)∠AEB150°;(2)見解析.

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AEAFEF3,ABAC,∠AFE60°,∠BAC=∠EAF60°,求出∠BAE=∠CAF,證出BAE≌△CAF,得出CFBE4,∠AEB=∠AFC,求出CE2EF2CF2,得出∠CFE90°,即可得出結(jié)果;

2)根據(jù)將ABMA點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ACF,可知AMAF,CFBM,∠BAM=∠CAF,∠B=∠ACF,求出∠NAF=∠MAN,證出MAN≌△FAN,得出MNFN,求出∠FCN90°,由勾股定理得出NF2CF2CN2即可解決問題.

解:(1)如圖1所示:

∵△ABCAEF為等邊三角形,

AEAFEF3,ABAC,∠AFE60°,∠BAC=∠EAF60°

∴∠BAE=∠CAF60°CAE,

BAECAF中,,

∴△BAE≌△CAFSAS),

CFBE4,∠AEB=∠AFC,

EF3CE5,

CE2EF2CF2

∴∠CFE90°

∵∠AFE60°,

∴∠AFC90°60°150°

∴∠AEB=∠AFC150°;

2)如圖2所示:

∵將ABMA點逆時針選擇90°,得到ACF,

AMAF,CFBM,∠BAM=∠CAF,∠B=∠ACF,

∵∠BAC90°,∠MAN45°,

∴∠NAF=∠CAN+∠FAC=∠CAN+∠BAM90°45°45°=∠MAN

MANFAN中,,

∴△MAN≌△FANSAS),

MNFN,

∵∠BAC90°,ABAC,

∴∠B=∠ACB45°

∵∠B=∠ACF,

∴∠ACF45°,

∴∠FCN90°

由勾股定理得:NF2CF2CN2,

CFBMNFMN,

MN2NC2BM2

練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)以上材料,解決下列問題:

1)計算: , ,

2)觀察(1)中的三個數(shù),猜測: ,),并加以證明這個結(jié)論;

3)已知:,求的值().

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