Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx+4的圖象經(jīng)過A（-3，0），B（5，4），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB在第一象限內(nèi)的部分上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使四邊形BPCQ的面積最大？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值；如果不存在，說明理由；
（3）x軸正半軸上有一點(diǎn)D（1，0），線段AC上是否存在點(diǎn)M，使△AOM∽△ADC？如果存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+4得到關(guān)于a和b的方程組，然后解方程組求出a和b即可得到拋物線解析式；
（2）如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，則求出C點(diǎn)坐標(biāo)，從而可判斷BC⊥PQ，設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）（0＜t＜5），則Q（t，-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4），再用t表示出QP，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_{四邊形BPCQ}=S_△CPQ+S_△BPQ得到S_{四邊形BPCQ}=-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{5}{4}$t+$\frac{25}{4}$，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，直線CD的解析式為y=-4x+4，則根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠AOM=∠ADC，于是可判斷OM∥CD，易得直線OM的解析式為y=-4x，然后通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x}\\{y=\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$可得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{25a+5b+4=4}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{6}$，b=$\frac{5}{6}$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（2）存在．
如圖，設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（-3，0），B（5，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{5m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4=4，則C（0，4），
而B（5，4），
∴BC⊥y軸，
∵QP∥y軸，
∴BC⊥PQ，
設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）（0＜t＜5），則Q（t，-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4），
∴QP=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$t=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{1}{3}$t+$\frac{5}{2}$，
∴S_{四邊形BPCQ}=S_△CPQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ•BC=$\frac{1}{2}$•5•（-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{1}{3}$t+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{5}{4}$t+$\frac{25}{4}$
=-$\frac{5}{12}$（t-1）²+$\frac{20}{3}$，
當(dāng)t=1時(shí)，S_{四邊形BPCQ}有最大值，最大值為$\frac{20}{3}$，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
（3）存在．
直線AC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，直線CD的解析式為y=-4x+4，
∵△AOM∽△ADC，
∴∠AOM=∠ADC，
∴OM∥CD，
∴直線OM的解析式為y=-4x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x}\\{y=\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，3）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)通過解方程組求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．