Question

如圖，⊙O的直徑為AB，⊙O₁過(guò)點(diǎn)O，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B．C為⊙O上的點(diǎn)，OC與⊙O₁交于點(diǎn)D，且OD＞CD．點(diǎn)E在OD上，且DC=DE，BE的延長(zhǎng)線與⊙O₁交于點(diǎn)F，求證：△BOC∽△DO₁F．

Answer 1

分析：首先連接DB，利用圓周角定理得出∠ODB=90°，進(jìn)而得出BC=EB，∠FBD=∠CBD，進(jìn)而得出∠FO₁D=∠FBC，再利用相似三角形的判定得出△BOC∽△DO₁F．

解答：解：連接DB．
∵⊙O₁過(guò)點(diǎn)O，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B．C
∴BO為⊙O₁直徑，
∴∠ODB=90°，
∵DC=DE，
∴BD垂直平分CE，
∴BC=EB，∠FBD=∠CBD，
∴∠BCE=∠BEC．
∵BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=∠BCE=∠BEC，
∴∠CBE=∠COB（三角形內(nèi)角和定理），
∵∠FO₁D=2∠FBD，
∴∠FO₁D=∠FBC，
∵CO=BO，F(xiàn)O₁=DO₁，
∴

CO

FO1

=

BO

DO1

，
∴△BOC∽△DO₁F．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與圓周角定理、垂直平分線定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出∠FO₁D=∠FBC是解題關(guān)鍵．