Question

已知拋物線y=-x2+2kx-

3

2

k2+2k-2（k是實(shí)數(shù)）與x軸有交點(diǎn)，將此拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到新的拋物線E，設(shè)拋物線E與x軸的交點(diǎn)為B，C，如圖．
（1）求拋物線E所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）連接AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過點(diǎn)C，得到直線l，點(diǎn)P是l上一動點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）．設(shè)以點(diǎn)A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)0＜S≤16時(shí)，求t的取值范圍；
（3）點(diǎn)Q是直線l上的另一個(gè)動點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，R為半徑作圓Q，當(dāng)R取何值時(shí)，圓Q與直線AB相切？相交？相離？直接給出結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)拋物線與x軸有交點(diǎn)，則判別式△≥0，據(jù)此即可求得k的值，函數(shù)的解析式即可求得，然后根據(jù)將此拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到新的拋物線E，即可求得E的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先求得B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得AB，l的解析式，分P在x軸下方和上方，兩種情況利用P的橫坐標(biāo)t表示出四邊形的面積，再根據(jù)0＜S≤16即可得到關(guān)于t的不等式，求得t的范圍；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥AB，H為垂足，利用三角形的面積公式求得CH的長，然后利用直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可寫出結(jié)果．

解答：解：（1）拋物線y=-x²+2kx-

3

2

k²+2k-2（k是實(shí)數(shù)）與x軸有交點(diǎn)，
則判別式△=（2k）²+4（-

3

2

k²+2k-2）=-（k-2）²≥0，
則k=2，
因而拋物線的解析式是：y=-x²+4x-4，
將此拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到的拋物線是：y=-（x+1）²+4（x+1）-4+4，
即：y=-x²+2x+3
即y=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4）；

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0所以B（-1，0），C（3，0）
設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b、
∵A（0，4），B（-1，0）∴

k+b=4 -1k+b=0

解得

k=2 b=2

，
∴y=2x+2
∵直線l∥AB且過點(diǎn)C（3，0），∴直線l的函數(shù)關(guān)系式為y=2x-6，
∵點(diǎn)P是l上一動點(diǎn)且橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，2t-6）
當(dāng)P在x軸下方時(shí)（t＜3），S=S_△ABC+S_△BCP=

1

2

×4×4+

1

2

×4×|2t-6|=20-4t．
∵0＜S≤16，∴0＜20-4t≤16，∴1≤t＜5、又t＜3，∴1≤t＜3
當(dāng)P在x軸上方時(shí)（t＞3），
作PM⊥x軸于M，設(shè)對稱軸與x軸交點(diǎn)為N． 則
S=S_梯形ANMP+S_△ANB+S_△PMC
=

1

2

[4+（2t-6）]•（t-1）+

1

2

×2×4-

1

2

（t-3）（2t-6）
=4t-4
另法：∵直線l∥AB，根據(jù)等底等高的面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化
S=S_△ABC+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

×4×4+

1

2

×4×（2t-6）=4t-4
∵0＜S≤16，∴0＜4t-4≤16，
∴1＜t≤5．
又∵t＞3，
∴3＜t≤5．
∴t的取值范圍是1≤t＜3或3＜t≤5；

（3）AB=2

5

，過點(diǎn)C作CH⊥AB，H為垂足，S_△ABC=

1

2

×4×4=

1

2

×AB×CH
所以CH=

8 5

5

，
因?yàn)槠叫芯�間距離處處相等，所以點(diǎn)Q到直線AB的距離等于

8 5

5

，
所以當(dāng)R=

8 5

5

時(shí)相切，R＞

8 5

5

時(shí)相交，R＜

8 5

5

時(shí)相離．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式以及直線與圓的位置關(guān)系的判定，并且用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．