Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁；…；按這樣的規(guī)律作下去，第2011個(gè)正方形的面積為（　�。�

• A、5（

  3

  2

  ）²⁰¹⁰
• B、5（

  9

  4

  ）²⁰¹⁰
• C、5（

  3

  2

  ）²⁰¹¹
• D、5（

  9

  4

  ）²⁰¹¹

Answer 1

分析：先根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，證明△AOD和△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長等于正方形ABCD邊長的

3

2

，以此類推，后一個(gè)正方形的邊長是前一個(gè)正方形的邊長的

3

2

，然后即可求出第2011個(gè)正方形的邊長與第1個(gè)正方形的邊長的關(guān)系，從而求出第2011個(gè)正方形的面積．

解答：解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵是坐標(biāo)平面內(nèi)，∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AO

=

AB

A1B

=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此類推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁，…，
即后一個(gè)正方形的邊長是前一個(gè)正方形的邊長的

3

2

倍，
∴第2011個(gè)正方形的邊長為（

3

2

）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴第2011個(gè)正方形的面積為[（

3

2

）²⁰¹⁰BC]²=5（

3

2

）⁴⁰²⁰=5（

9

4

）²⁰¹⁰．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，根據(jù)規(guī)律推出第2011個(gè)正方形的邊長與第1個(gè)正方形的邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，本題綜合性較強(qiáng)．