Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（6，8），點D坐標為（9，0），過B作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，點P沿OC自點O向點C運動，同時點Q沿OA向點A運動，點Q與點P的速度之比為1：n，連接PB、PQ．
（1）求經過C、B、D三點的拋物線；
（2）當n=

3

3

時，∠OPQ=30°；當n=

1

時，∠OPQ=45°；當n=

3

時，∠OPQ=60°；
（3）若存在PB⊥PQ，試求OQ的取值范圍；
（4）點M為四邊形OABC邊上的某點，請求出能使△MBD為等腰三角形的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設經過C、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據已知條件可求出C的坐標為（0，8），把C，D，B的坐標分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）若使∠OPQ=30°則由30°角的銳角三角函數值即可求出n的值，45°，60°思路類同；
（3）若存在PB⊥PQ，則△BCP∽△PBQ，設OQ=x，則有PO=xn，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到關于x的一元二次方程，令根的判別式△≥即可求出x的取值范圍，即OQ的取值范圍；
（4）因為等腰三角形MBD的腰和底確定，所以要分三種情況討論①DB=DM時；②BM=DM時；③MA=MB時分別求出符合題意M的坐標即可．

解答：解：（1）設經過C、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵點B的坐標為（6，8），
B作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，
∴四邊形BCOA是矩形，
∴OC=AB=8，
∴C的坐標是（0，8），
∵點D坐標為（9，0），
∴

8=36a+6b+c 0=81a+8b+c 8=c

，
解得：

a=- 8 27 b= 16 9 c=8

，
故經過C、B、D三點的拋物線的解析式是y=-

8

27

x2+

16

9

x+8；

（2）若使∠OPQ=30°，即tan∠OPQ=

OQ

PO

=

3

3

，
則

n

1

=

3

3

，
解得n=

3

3

，
若使∠OPQ=45°，則OP=OQ，
則n=1，
若使∠OPQ=60°，tan∠OPQ=

OQ

PO

=

3

，
則

n

1

=

3

，
解得n=

3

，
故答案為：

3

3

，1，

3

；

（3）若存在PB⊥PQ，則∠BPQ=90°，
∵∠C=∠POQ=90°，
∴∠CPB+∠CBP=90°，∠CPB+∠OPQ=90°，
∴∠CBP=∠OPQ，
∴△BCP∽△PBQ，
∴

BC

PO

=

CP

OQ

，
設OQ=x，則有PO=xn，
∴

6

xn

=

8-xn

x

，
化簡得：xn²-8n+6=0，
∵△=（-8）2-4•x•6≥0，
∴x≤

8

3

，
∵OQ=x是線段的長度，
∴0＜OQ≤

8

3

；

（4）①當DB=DM時，以D為圓心，DB為半徑作圓D，交矩形OA邊于M₁，求得M₁的坐標為（9-

73

，0）；
②BM=DM時，以B為圓心，以BD為半徑作圓B，交OA邊于M₂，交OC邊于M₃，由勾股定理得：M₂的坐標為（3，0），M₃的坐標為（0，8-

37

）；
③MA=MB時，作BD垂直平分線分別交矩形AB邊M4，交OC邊于M5，由勾股定理得M₄的坐標為（6，

55

16

），M₅的坐標為（0，

19

16

）；
綜上所述符合條件要求的M有五個點，它們的坐標分別是（9-

73

，0）、（3，0）、（0，8-

37

）、（6，

55

16

）、（0，

19

16

）．

點評：本題綜合性考查了用待定系數法求二次函數的解析式、特殊角的銳角三角函數值、相似三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定和性質和數學分類討論思想的運用，題目具有很強的綜合性，難度不�。�