Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,tanA=4/3,點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，作DE⊥CD，交射線CB于點(diǎn)E,設(shè)AD=x。（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△BED是等腰三角形時(shí)，求x的值；（3）如果y=DE/DB。求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域。

Answer 1

【答案】(1)DE=;(2)（i）x=;（ii）AD=2;(3)y=（0＜x＜10）．

【解析】

試題（1）在直角三角形ABC中，由AB與tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義及勾股定理求出BC與AC的長(zhǎng)，由D為斜邊上的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD=5，可得出∠DCB=∠DBC，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似得到△EDC與△ACB相似，由相似得比例，即可求出DE的長(zhǎng)；

（2）分兩種情況考慮：

（i）當(dāng)E在BC邊上時(shí)，由△BDE為等腰三角形且∠BED為鈍角，得到DE=BE，利用等邊對(duì)等角得到∠EBD=∠EDB，利用等角的余角相等得到∠CDA=∠A，利用等角對(duì)等邊得到CD=AC，作CH垂直于AB，利用三線合一得到AD=2AH，由cosA的值求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)，即為x的值；

（ii）當(dāng)E為BC延長(zhǎng)線上時(shí)，與∠DBE為鈍角得到DB=BE，同理求出x的值；

（3）作DM垂直于BC，得到DM與AC平行，由平行得比例，表示出DM與BM，進(jìn)而表示出CD與CM，由三角形DEM與三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，將DE與DB代入表示出y，化簡(jiǎn)得到結(jié)果，并求出x的范圍即可．

試題解析：

（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA="4" 3 ，

∴BC=8，AC=6，

∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD=5，

∴∠DCB=∠DBC，

∵∠EDC=∠ACB=90°，

∴△EDC∽△ACB，

∴DE:CD="AC:BC" ，即DE:5="6:8" ，

則DE=；

（2）分兩種情況情況：

（i）當(dāng)E在BC邊長(zhǎng)時(shí)，

∵△BED為等腰三角形，∠BED為鈍角，

∴EB=ED，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EDC=∠ACB=90°，

∴∠CDA=∠A，

∴CD=AC，

作CH⊥AB，垂足為H，那么AD=2AH，

∴AH:AC="3:5" ，即AH=，

∴AD=，即x=；

（ii）當(dāng)E在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵△BED為等腰三角形，∠DBE為鈍角，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠BDE，

∵∠EDC=90°，

∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，

∴∠BCD=∠BDC，

∴BD=BC=8，

∴AD=x=AB-BD=10-8=2；

（3）作DM⊥BC，垂足為M，

∵DM∥AC，

∴DM:AC="BM:BC=BD:BA" ，

∴DM=（10-x），BM=（10-x），

∴CM=8-（10-x）=x，CD= x2x+36 ，

∵△DEM∽△CDM，/span>

∴DE:DM="CD:CM" ，即DE=，

∴y=，

整理得：y=（0＜x＜10）．