Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，點D在BC上運動（不能到點B，C），過D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CDE+∠DEC=135°．
∵∠ADE=45°，
∴∠CDE+∠ADB=135°，
∴∠DEC=∠ADB，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵BD=x，AE=y，AB=AC=2，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到：BC=2
∴CD=BC-BD=2-x，CE=AC-AE=2-y，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
即，
即y=（0＜x＜2）．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，再根據(jù)等量代換得到∠DEC=∠ADB，然后根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，即可得證；
（2）設(shè)BD為x，AE=y，分別表示出CD和CE，根據(jù)（1）得到相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，列出x與y的函數(shù)關(guān)系式即可．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想建立函數(shù)關(guān)系式．