【題目】如圖1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,點(diǎn)E在AB上,F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn),連接CE、FE.

(1)若AD=3 ,BE=4,求EF的長;
(2)求證:CE= EF;
(3)將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上(如圖2),連接BD,取BD的中點(diǎn)F,問(2)中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.

【答案】
(1)

解:∵∠AED=90°,AE=DE,AD=3 ,

∴AE=DE=3,

在Rt△BDE中,

∵DE=3,BE=4,

∴BD=5,

又∵F是線段BD的中點(diǎn),

∴EF= BD=2.5


(2)

解:如圖1,連接CF,線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE= FE;

解法1:∵∠AED=∠ACB=90°

∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓

且BD是該圓的直徑,

∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),

∴點(diǎn)F是圓心,

∴EF=CF=FD=FB,

∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,

由圓周角定理得:∠DCE=∠DBE,

∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°

∴∠ECF=45°=∠CEF,

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴CE= EF.

解法2:∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°,

∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),

∴CF=EF=FB=FD,

∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,

∴∠DFE=2∠ABD,

同理∠CFD=2∠CBD,

∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,

即∠CFE=90°,

∴CE= EF.


(3)

解:解法1:如圖2﹣1,連接CF,延長EF交CB于點(diǎn)G,

∵∠ACB=∠AED=90°,

∴DE∥BC,

∴∠EDF=∠GBF,

在△EDF和△GBF中,

,

∴△EDF≌△GBF,

∴EF=GF,BG=DE=AE,

∵AC=BC,

∴CE=CG,

∴∠EFC=90°,CF=EF,

∴△CEF為等腰直角三角形,

∴∠CEF=45°,

∴CE= FE;

解法2:如圖2﹣2,連結(jié)CF、AF,

∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,

又∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),

∴FA=FB=FD,

在△ACF和△BCF中,

∴△ACF≌△BCF,

∴∠ACF=∠BCF= ∠ACB=45°,

∵FA=FB,CA=CB,

∴CF所在的直線垂直平分線段AB,

同理,EF所在的直線垂直平分線段AD,

又∵DA⊥BA,

∴EF⊥CF,

∴△CEF為等腰直角三角形,

∴CE= EF.


【解析】(1)由AE=DE,∠AED=90°,AD=3 ,可求得AE=DE=3,在Rt△BDE中,由DE=3,BE=4,可知BD=5,又F是線段BD的中點(diǎn),所以EF= BD=2.5;(2)連接CF,直角△DEB中,EF是斜邊BD上的中線,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,CF= EF;(3)思路同(1).連接CF,延長EF交CB于點(diǎn)G,先證△EFC是等腰三角形,要證明EF=FG,需要證明△DEF和△FGB全等.由全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么這個(gè)三角形就是個(gè)等腰直角三角形,因此得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解圖形的旋轉(zhuǎn)(每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素),還要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖是2015年12月月歷.

(1)如圖,用一正方形框在表中任意框往4個(gè)數(shù),記左上角的一個(gè)數(shù)為x,則另三個(gè)數(shù)用含x的式子表示出來,從小到大依次是 , ,

(2)在表中框住四個(gè)數(shù)之和最小記為a1,和最大記為a2,則a1+a2=

(3)當(dāng)(1)中被框住的4個(gè)數(shù)之和等于76時(shí),x的值為多少?

(4)在(1)中能否框住這樣的4個(gè)數(shù),它們的和等于92?若能,則求出x的值;若不能,則說明理由.

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(1)分別寫出x≤5x>5的函數(shù)解析式;

(2)觀察函數(shù)圖象,利用函數(shù)解析式,回答自來水公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn);

(3)若某戶居民六月交水費(fèi)31元,則用水多少噸?

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【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下框中的題目.

如圖1,在∠AOB的內(nèi)部有一條射線OC把∠AOB分成兩個(gè)角,射線OM、ON分別平分∠AOC、BOC,試探究∠MON與∠AOB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:

(1)特殊情況,探索結(jié)論:

①請你在下表中填上當(dāng)∠AOB60°、90°、120°時(shí)∠MON的大小:

AOB的度數(shù)

60°

90°

120°

MON的度數(shù)

   

   

   

②探索發(fā)現(xiàn):無論∠AOB的度數(shù)是多少,∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系是不變的,請你直接寫出結(jié)論:

MON   AOB.

(2)特例啟發(fā),解答題目:

如圖2,如果∠AOB=α,請你求∠MON的大小(用α表示).

(3)拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題:

如圖3,把一張報(bào)紙的一角斜折過去,使A點(diǎn)落在E點(diǎn)處,BC為折痕,BD是∠EBM的平分線,求∠CBD的度數(shù).

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【題目】觀察下列算式,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

12=;12+22=;12+22+32=;12+22+32+42=;…

①根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計(jì)算下面算式的值;12+22+32+42+52=____________

②請用一個(gè)含n的算式表示這個(gè)規(guī)律:12+22+32…+n2=___________;

③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計(jì)算下面算式的值:512+522+…+992+1002=____________

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選修課

A

B

C

D

E

F

人數(shù)

20

30

根據(jù)圖標(biāo)提供的信息,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

A. 這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為200 B. 扇形統(tǒng)計(jì)圖中E部分扇形的圓心角為72°

C. 被調(diào)查的學(xué)生中最想選F的人數(shù)為35 D. 被調(diào)查的學(xué)生中最想選D的有55

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