Question

如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，P是的中點，
①試判斷過點C所作的切線與直線AB是否相交，并證明你的結(jié)論；
②設(shè)直線CP與AB相交于點D，過點B作BE⊥CD于E，證明BE是⊙O的切線；
③在②的條件下，若AB=10cm，求△BDE的面積．

Answer 1

解：①過C作圓O的切線CN，CN∥AB，理由為：
連接OP，OC并延長交AB于點F，連接OB，
∵P為的中點，
∴OP⊥BC，M為BC的中點，
∵∠A和∠BOC都為所對的角，
∴∠BOC=2∠A=120°，又OB=OC，
∴∠BCF=30°，
∵CN為圓O的切線，∴∠OCN=90°，
∴∠BCN=∠ABC=60°，
∴CN∥AB；
②根據(jù)題意畫出圖形，如同所示，
∵∠BOC=120°，OM為∠BOC的平分線，
∴∠COM=60°，又OP=OC，
∴△OCP為等邊三角形，
∴∠OCP=60°，又∠BCF=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠OBC=30°，
∴∠OBC=∠BCD，
∴OB∥CD，
∵BE⊥CD，
∴OB⊥BE，又OB為圓的半徑，
∴BE為圓O的切線；
③∵OB∥DC，
∴∠FBO=∠D=30°，
∴∠BCD=∠D，
∴BD=BC，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC=10cm，
∴BD=BC=10cm，
在Rt△BEC中，BC=10cm，∠BCE=30°，
∴BE=BC=5cm，根據(jù)勾股定理得：EC==5cm，
又∵BE⊥CD，
∴S_△BDE=S_△BCE=BE•EC=×5×5=．
分析：①過C作圓O的切線CN，CN∥AB，理由為：連接OP，OC并延長交AB于點F，連接OB，由P為弧BC的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OP垂直于BC，M為BC的中點，利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，求出∠BOC的度數(shù)，進而確定出∠BCF的度數(shù)，由CN為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠OCN為直角，求出∠BCN=∠ABC=60°，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證；
②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，由∠BOC的度數(shù)求出∠COP為60°，再由OP=OC得出三角形OCP為等邊三角形，求出∠OCP為60°，進而確定出∠BCP為30°，而∠OBC也為30°，得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到OB與CD平行，由BE垂直于CD，得到的BE垂直于OB，而OB為圓的半徑，即可得到BE為圓O的切線；
③由OB與CD平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠D為30°，確定出∠D=∠BCD，利用等角對等邊得到BD=BC，由等邊三角形ABC邊長為10cm，得到BC為10cm，而三角形BDE與三角形BCE面積相等，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出BE的長，再利用勾股定理求出EC的長，由BE與EC乘積的一半求出三角形BCE的面積，即為三角形BDE的面積．
點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．