Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過點O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，ED=4，EO的延長線交⊙O于F，連DF、AF，求△ADF的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，CD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD過圓心O，
∴ED為⊙O的切線．

（2）解：過O作OM⊥AB于M，過F作FN⊥AB于N，
則OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四邊形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，

sin∠BAC===，
即=，
OM==FN，
∵cos∠BAC===，
∴AM=
由垂徑定理得：AD=2AM=，
即△ADF的面積是AD×FN=××=．
答：△ADF的面積是．
分析：（1）連接OD，CD，求出∠BDC=90°，根據(jù)OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根據(jù)SSS證△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）過O作OM⊥AB于M，過F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根據(jù)sin∠BAC===，求出OM，根據(jù)cos∠BAC===，求出AM，根據(jù)垂徑定理求出AD，代入三角形的面積公式求出即可．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的面積，垂徑定理，直角三角形的斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的運用，通過做此題培養(yǎng)了學生的分析問題和解決問題的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．