Question

如圖1，在平面直角坐標系中，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上．現(xiàn)將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使得點B落到x軸的正半軸上（如圖2），設拋物線y=ax²+bx+c（a＜0），如果拋物線同時經(jīng)過點O、B、C：
①當n=3時a=

-

10

3

；
②a關于n的關系式是

a=-

n2+1

n

．

Answer 1

分析：①當n=3時，OC=1，BC=3，設所求拋物線解析式為y=ax2+bx，過C作CD⊥OB于點D，則Rt△OCD∽Rt△CBD，得出ODCD=OCBC=13，設OD=t，則CD=3t，根據(jù)勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐標，把B、C坐標代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可；
②根據(jù)a=2、4和①總結規(guī)律，可以得到答案．

解答：解：①如圖當n=3時，OC=1，BC=3，
設所求拋物線解析式為y=ax²+bx，
過C作CD⊥OB于點D，
則Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴

OD

CD

=

OC

BC

=

1

3

，
設OD=t，則CD=3t，
∵OD²+CD²=OC²，
∴（3t）²+t²=1²，∴t=

1 10

=

10

10

∴C（

10

10

， 

3

10

10

），又B（

10

，0），
∴把B、C坐標代入拋物線解析式，得

0=10a+ 10 b 3 10 10 = 1 10 a+ 10 10 b

解得：a=-

10

3

，
故答案為：-

10

3

．
②當n=2時，OC=1，BC=2，
∴OB=

5

，
∴1×2=

5

CD，B（

5

，0）
∴CD=

2 5

5

，
∴OD=

5

5

，
∴C（

5

5

，

2 5

5

）
設所求拋物線解析式為y=ax²+bx，
∴

0=5a+ 5 b 2 5 5 = 1 5 a+ 5 5 b

，
解得：a=-

5

2

；
同理當n=4時，a=-

17

4

；
∴可以得出a關于n的關系式是：a=-

n2+1

n

．

故答案為：-

10

3

，a=-

n2+1

n

．

點評：本題主要考查相似三角形的性質和判定，正方形的性質，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，勾股定理等知識點的理解和掌握．