Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，若劣弧CD=120°，則=________．

Answer 1

3
分析：如圖，連接OD、CD．利用圓周角定理可以推知∠ADC=90°，由已知條件證得∠COD=120°；然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可以求得∠A=60°，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余知∠ACD=∠ABC=30°；最后在直角三角形中，由“30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”分別求得AD、BD與線段AC的數(shù)量關(guān)系，從而求得的值．
解答：解：如圖，連接OD、CD．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
又∵劣弧CD=120°，∴∠COD=120°，
∴∠OAD=60°；
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠A=60°；
在Rt△CAD中，AD=AC（30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半）；
在Rt△ABC中，AC=AB（30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半）；
∴BD=AB-AD=AC，
∴=3．
故答案是：3．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、含30°角的直角三角形以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．解題時(shí)，通過(guò)作輔助線連接OD、CD構(gòu)建等邊△AOD和Rt△CAD來(lái)求得∠A的度數(shù)的．