Question

小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題．
作法：
（1）在e上任取一點C，以點C為圓心，AB長為半徑畫弧交c于點D，交d于點E；
（2）以點A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點M；
∴點M為線段AB的二等分點．
解決下列問題：（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
（1）仿照小明的作法，在圖2中作出線段AB的三等分點；
（2）點P是∠AOB內(nèi)部一點，過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，請找出一個滿足下列條件的點P．（可以利用圖1中的等距平行線）
①在圖3中作出點P，使得PM=PN；    ②在圖4中作出點P，使得PM=2PN．

Answer 1

分析：（1）作法：①在e上任取一點C，以點C為圓心，AB長為半徑畫弧交b于點D，交d于點E，交c于點F；②以點A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點P₁，再以點B為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點P₂；則點P₁、P₂為線段AB的三等分點；
（2）①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA于G，交OB于H；在d上任取一點C，以點C為圓心，GH長為半徑畫弧交b于點D，交c于點E；以點G為圓心，CE長為半徑畫弧交GH于點P；則P點為所求； 
②以O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA于G，交OB于H；在d上任取一點C，以點C為圓心，GH長為半徑畫弧交a于點D，交c于點E，交b于點F；②以點G為圓心，CF長為半徑畫弧交GH于點P；則則P點為所求．

解答：解：（1）如下圖所示，點P₁、P₂為線段AB的三等分點；


（2）①如下圖所示，點P即為所求；

②如下圖所示，點P即為所求．

點評：本題考查了作圖-應用與設計作圖，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，理解等距平行線的含義及平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．