Question

如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，1），點(diǎn)C是雙曲線第三象限分支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C作CA⊥x軸，過(guò)D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC.

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式；

（3）判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）k=6；（2）；（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（2）先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到BD的距離，然后求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；

（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解：（1）∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，1），

∴，解得k=6；

（2）設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），DB⊥y軸，

∴BD=6，

∴S_△BCD=×6•h=12，

解得h=4，

∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3，

∴，解得x=-2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-3），

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

所以，直線CD的解析式為；

（3）AB∥CD．理由如下：

∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（c，0），B（0，1），

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

所以，直線AB的解析式為y=-x+1，

設(shè)直線CD的解析式為y=ex+f，

∴直線CD的解析式為y=-x+，

∵AB、CD的解析式k都等于-，

∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的求解，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用．