Question

【題目】如圖，中，，，若點為射線上一動點，連接，將線段AE繞著點逆時針旋轉得到.

(1)如圖，當點在線段上運動時；

①若，則_______ (直接寫出答案)；

②過點作交于點，求證：；

(2)當點在射線上，(如圖2) 連接與直線交于點，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②見解析；（2）或

【解析】

（1）①由旋轉的性質可得∠EAF=90°，再根據角的和差求出∠CAE的度數，然后根據∠FAC=∠EAF-∠CAE計算即可；

②通過證明形△ADF≌△EAC得到：AD=CE，FD=AC，再利用等量代換即可證明結論成立；

（2）分兩種情況求解：①當點E在線段CB的延長線上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，易證，由（1）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解題；②當點E在線段CB的上時．過F作FD⊥AG點D，與①同理即可求解．

證明：（1）①由旋轉的性質得∠EAF=90°，

∵，，

∴，

∴∠FAC=90°-30°=60°；

②∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD =90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△ADF和△ECA中，

，

∴△ADF≌△ECA（AAS），

∴AD=EC，FD=AC，

∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；

（2）①當點E在線段CB的延長線上時，過F作FD⊥AC的延長線交于點D，如圖2，

∵，BC=AC，CE=CB+BE，

∴，

由（1）知：△ADF≌△ECA，

∴AD=CE，DF=AC，

∴，

∴，

∵AC=BC，DF=AC，

∴DF=BC，

又∵∠FGD=∠BGC，∠D=∠BCG=90°，

∴△GDF≌△GCB，

∴DG=CG，

∴，

∴；

②當點E在線段CB的上時，過F作FD⊥AC于點D，如圖3，

∵， BC=CE+BE，

∴，

∵BC=AC，

∴，

由（1）知：△ADF≌△ECA，

∴AD=CE，DF=AC，

∴，

∴，

∵AC=BC，DF=AC，

∴DF=BC，

又∵∠FGD=∠BGC，∠ADF=∠BCG=90°，

∴△GDF≌△GCB，

∴DG=CG，

∴，

∴．

綜上可知，的值是或．

故答案為：或．