Question

【題目】如圖，在等腰中，．點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90得到EF．

（1）如圖1，若，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O．求證：．

（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．

①如圖2，若，求DG的長(zhǎng)．

②若，是否存在點(diǎn)E，使得是直角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②存在，CE的長(zhǎng)為：，2或，.

【解析】

（1）先證明CD＝BD＝AD，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可證得結(jié)論；（2）①分別過(guò)點(diǎn)D，F作與點(diǎn)N，與點(diǎn)M，連接BF，先求得BF的長(zhǎng)，再證明DG是△ABF的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可求得DG的長(zhǎng)；②分∠DEG＝90°和∠EDG＝90°兩種情況求解即可．

解：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得:，

是等腰三角形，

，

在和中，

（2）①如圖1，分別過(guò)點(diǎn)D，F作與點(diǎn)N，與點(diǎn)M，連接BF，

又，

，

又，，

，

點(diǎn)D，G分別是AB，AF的中點(diǎn)，

②過(guò)點(diǎn)D作與點(diǎn)H

，，

，

當(dāng)時(shí)，有如圖2，3兩種情況，設(shè)，

，，

點(diǎn)E在線段AF上，

，，，

，，即，解得，

或，

當(dāng)時(shí)，如圖4，

圖4

過(guò)點(diǎn)F作與點(diǎn)K，延長(zhǎng)DG交AC于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AC并截取，連接FM，

則，，

設(shè)，則，，

，，，

，，得，

，，

四邊形GECN是平行四邊形，

∵，

四邊形GECN是矩形， 當(dāng)時(shí)，有

當(dāng)時(shí)，如圖5，

圖5

過(guò)點(diǎn)G，F分別作AC的垂線，交射線AC于點(diǎn)N，M，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作GN的垂線，交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則

設(shè)，則，

由可得：

，

由可得：

即

解得，（舍去）

所以，CE的長(zhǎng)為：，2或，