Question

如圖，已知直線y=x與二次函數(shù)y=x²+bx的圖象交于點A、O，（O是坐標原點），點B為二次函數(shù)圖象的頂點，OA=3

2

．
（1）求b的值及過B、A兩點的一次函數(shù)的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于C，點P在線段OA上，Q在拋物線上，且PQ∥x軸，若以O、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點Q的坐標；
（3）若點P在線段OA上，Q在拋物線上，且PQ∥x軸，PQ將△AOB的面積二等分時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由點A在直線y=x上，可知A的橫縱坐標相等，又因為OA=3

2

，所以可以求出A的坐標，再把A的坐標代入y=x²+bx，求出b的值即可求出函數(shù)的解析式；
（2）用配方法求出頂點P的坐標，設Q的坐標為（x，x²-2x），則P（x²-2x，x²-2x），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得結(jié)論；
（3）先求得三角形AOB的面積為

3

2

，然后根據(jù)題意求得S_△APF=

3

2

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，得出△APF底邊PF上的高h，即可求得P的縱坐標，進而求得P的坐標．

解答：解：（1）∵點A在直線y=x上，且OA=3

2

，
∴A點的坐標是（3，3）
∵點A（3，3）在函數(shù)y=x²+bx的圖象上，
∴3=9+3b，
解得：b=-2，
故二次函數(shù)的解析式是y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴頂點B的坐標為（1，-1）
設Q的坐標為（x，x²-2x），則P（x²-2x，x²-2x），
∵以O、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，
∴PQ=OC=1，
∴x²-2x-x=1，即x²-3x-1=0，解得，x=

3+ 13

2

或x=

3- 13

2

，
∴Q（

3+ 13

2

，

5+ 13

2

）或（

3- 13

2

，

5- 13

2

）；

（3）A（3，3），B（1，-1），
∴直線AB的解析式為y=2x-3，
∴直線AB與x軸的交點E為（

3

2

，0），
S_△OEB=

1

2

×

3

2

×1=

3

4

，S_△AOE=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
∴S_△AOB=S_△OEB+S_△AOE=

3

4

+

9

4

=3，
∵PQ將△AOB的面積二等分，
∴S_△APF=

3

2

，
∵PQ∥x軸，
∴△APF∽△AOE，
∴（

h

3

）²=

S△APF

S△AOE

=

3 2

9 4

=

2

3

，
∴h=

6

，
∴P點的縱坐標為3-

6

，
∵P在線段OA上，
∴P（3-

6

，3-

6

）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的頂點坐標、平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題時也要注意分類討論數(shù)學思想的運用，題目的綜合性很強，難度中等．