Question

一本書標有2011頁，從第一頁開始每11頁就在最后一頁的頁面加注一個紅圈，直到末頁．然后從末頁開始向前，每21頁也在最前一頁加注一個紅圈，直到第一頁．問一共有多少頁加注了兩個紅圈？并寫出它們的頁面號碼．

Answer 1

分析：設加注紅圈的頁碼為m．首先根據(jù)一本書，從第一頁開始每11頁就在最后一頁的頁面加注一個紅圈，直到末頁，得出m=1+11k，由k、m均為正整數(shù)，且m≤2011，可求出1≤k≤182；然后根據(jù)這本書，從末頁開始向前，每21頁也在最前一頁加注一個紅圈，直到第一頁，得出m=16+21k′，由k′為自然數(shù)，m為正整數(shù)及題目條件，可求出0≤k′≤94．由m=1+11k=16+21k′，得出k=1+2k′+

4-k′

11

，則k′=4，即m=16+21×4=100是兩個紅圈重合的頁面號碼之最小者，又11與21的最小公倍數(shù)是231，因此，兩個紅圈重合的頁面號碼是m=100+231n，從而求出兩個紅圈重合的頁面號碼，得出結果．

解答：解：第一次從前往后加注紅圈時，設加注紅圈的頁碼為m，
則m=1+11k，k=1，2，3…，m≤2011．（1）
∴1+11k≤2011，∴1≤k≤182．
第二次從后往前加注紅圈時，由2011÷21=95…16，可知這時加紅圈的頁面號碼m就是從第16頁開始向后每隔20頁加注紅圈的頁面號碼，除了第16頁和最末一頁（第2011頁）是例外，于是第二次加注紅圈的頁面號碼是
m=16+21k′，k′=0，1，2，…，94．（2）
結合（1）（2），于是得到
m=1+11k=16+21k′，
∴k=1+2k′+

4-k′

11

，
∴m=16+21×4=100是兩個紅圈重合的頁面號碼之最小者，注意到11與21的最小公倍數(shù)[11，21]=231，
因此，兩個紅圈重合的頁面號碼是m=100+231n．
由m≤2011，得100+231n≤2011，0≤n≤8，
即n=0，1，2，3，4，5，6，7，8，
故一共有9頁加注了兩個紅圈，分別是第100頁，第331頁，第562頁，第793頁，第1024頁，第1255頁，第1486頁，第1717頁，第1948頁．

點評：本題考查了同余問題及最小公倍數(shù)的問題，屬于競賽題型，有一定難度．得到兩個紅圈重合的頁面號碼是m=100+231n，是解題的關鍵．