Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0．
（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，試猜測(cè)x₁和x₂是同號(hào)還是異號(hào)，并對(duì)你的結(jié)論加以證明．
（3）若x₁和x₂滿足|x₁|=|x₂|-2，求m的值．

Answer 1

（1）證明：△=（m-3）²+4m²
=5（m-）²+，
∵5（m-）²≥0，
∴5（m-）²+＞0，即△＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：x₁和x₂異號(hào)．理由如下：
∵x₁•x₂=-m²≤0，
∴x₁，x₂異號(hào)；

（3）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m²，
∵|x₁|=|x₂|-2，
∴|x₁|-|x₂|=-2，
若x₁＞0，x₂＜0，上式化簡(jiǎn)得：x₁+x₂=-2，
∴m-3=-2，解得m=1；
若x₁＜0，x₂＞0，上式化簡(jiǎn)得：-（x₁+x₂）=-2，
∴m-3=2，解得m=5，
∴m的值為1或5．
分析：（1）先計(jì)算判別式得到△=（m-3）²+4m²，配方得到△=5（m-）²+，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁•x₂=-m²≤0，則可判斷x₁，x₂異號(hào)；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=m-3，再分類討論：若x₁＞0，x₂＜0，則m-3=-2；若x₁＜0，x₂＞0，則m-3=2，然后分別解方程求出m．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．