Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線段AB上沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BC上沿BC方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒．
（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

1

2

厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△DPQ的面積為S，請(qǐng)你求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)△DPQ的面積最小時(shí)，求BQ的長(zhǎng)；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)△DAP和△PBQ相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)；
（4）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a厘米/秒，問是否存在a的值，使得△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請(qǐng)求出a的值，并寫出此時(shí)BQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）知道了P、Q的速度，那么可用時(shí)間來表示出AP、BQ的長(zhǎng)，也就表示出了BP、BQ的長(zhǎng)，也就有了△BPQ的直角邊的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論，
①當(dāng)∠ADP=∠BPQ時(shí)，AD，BP相對(duì)應(yīng)，AP，BQ相對(duì)應(yīng)，可以根據(jù)它們的比例關(guān)系求出此時(shí)t的值．進(jìn)而求出BQ的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠APD=∠BPQ時(shí)，AD，BQ相對(duì)應(yīng)，AP，BP相對(duì)應(yīng)，按照①的方法求t的值即可．
（4）與（3）的方法相同，也是按對(duì)應(yīng)角的不同分成不同的狀況進(jìn)行討論，最后看看求出的結(jié)果是否符合要求．

解答：解：（1）根據(jù)題意，①S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ
=60-

1

2

×6t-

1

2

×（10-t）•

1

2

t-

1

2

×10•（6-

1

2

t）=

1

4

t²-3t+30；

（2）S_△DPQ=

1

4

t²-3t+30=

1

4

(t-6)2+21，
當(dāng)t=6時(shí)，S_△DPQ最小，此時(shí)BQ=3；

（3）①如圖，當(dāng)∠DPA=∠QPB時(shí)，

AD

AP

=

QB

PB

，
∴

6

t

=

1 2 t

10-t

，t²+12t-120=0，
解得：t=2

39

-6，或t=-2

39

-6（不合題意，舍去）
因此，當(dāng)t=2

39

-6時(shí)，BQ=

39

-3；
②如圖，當(dāng)∠DPA=∠PQB時(shí)，

AP

AD

=

BQ

BP

，
∴

t

6

=

1 2 t

10-t

，
解得：t=7，
因此，當(dāng)t=7時(shí)，即BQ=3.5時(shí)，△DAP和△PBQ相似；

（4）假設(shè)存在a的值，使△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個(gè)三角形都相似，設(shè)此時(shí)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=t，BQ=at．
①如圖，當(dāng)∠1=∠3=∠4時(shí)，

AD

AP

=

PB

BQ

=

DC

CQ

，∴

6

t

=

10-t

at

=

10

6-at

，

1

2

t²+6t-60=0，
解得：t₁=2，t₂=18（舍去），
此時(shí)BQ=at=

4

3

×2=

8

3

．
②當(dāng)∠1=∠3=∠5時(shí)，∠DPQ=∠DQP=90°不成立；
③如圖，當(dāng)∠1=∠2=∠4時(shí)，

AD

AP

=

QB

PB

=

DC

CQ

，
∴

6

t

=

at

10-t

=

10

6-at

，
即

60-6t=at2 36-6at=10t

，將a消掉，可得5t²-36t+180=0，此方程無解，
④當(dāng)∠1=∠2=∠5時(shí)，∠1=∠PDC＞∠5，故不存在這樣的a值．
綜上所述，存在這樣的a值，△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個(gè)三角形都相似，此時(shí)，BQ=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意后兩問中，要分對(duì)應(yīng)角的不同來得出不同的對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．不要忽略掉任何一種情況．