在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內一點,且滿足PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度數(shù).
考點:全等三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形
專題:計算題
分析:過點C作CD⊥CP,使CD=CP=2,連接CD,PD,AD,根據(jù)AC=BC,由同角的余角相等得到夾角相等,利用SAS的三角形ACD與三角形CBP全等,利用全等三角形對應邊相等,對應角相等得到AD=BP=1,∠ADC=∠BPC,在直角三角形DCP中,利用勾股定理求出DP的長,由AD以及AP的長,利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP為直角三角形,由∠4+∠5求出∠ADC度數(shù),即為∠BPC度數(shù).
解答:解:過點C作CD⊥CP,使CD=CP=2,連接CD,PD,AD,
∵∠1+∠2=∠ACB=90°=∠DCP=∠3+∠2,
∴∠1=∠3,
在△CAD和△CBP中,
CD=CP
∠3=∠1
AC=BC

∴△CAD≌△CBP(SAS),
∴DA=PB=1,∠ADC=∠BPC,
在等腰Rt△DCP中,∠4=45°,
根據(jù)勾股定理得:DP2=CD2+CP2=22+22=8,
∵DP2+DA2=8+1=9,AP2=32=9,
∴DP2+DA2=AP2,
∴△ADP為直角三角形,即∠5=90°,
則∠BPC=∠ADC=∠4+∠5=45°+90°=135°.
點評:此題考查了全等三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
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