【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)()交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=―2 .
(1)求該拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P(0,t)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)進(jìn)行如下探究:
探究一:如圖1,設(shè)△PAD的面積為S,令W=t·S,當(dāng)0<t<4時(shí),W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此時(shí)t的值;如果沒(méi)有,說(shuō)明理由;
探究二:如圖2,是否存在以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOC相似?如果存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1 圖2
【答案】(1)y=x2x+3.D(-2,4).(2)①當(dāng)t=3時(shí),W有最大值,W最大值=18.②存在.只存在一點(diǎn)P(0,2)使Rt△ADP與Rt△AOC相似.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=,且已知拋物線(xiàn)()的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=―2,故,可求出 a的值,即可寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)探究一:由拋物線(xiàn)的解析式可求x、y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),作軸于M,則,點(diǎn),由=可得,,當(dāng)時(shí),W有最大值,;探究二:分三種情況分析:①當(dāng)時(shí),作軸于E,則,則,則,則,又因?yàn)?/span>軸,軸,則,則,,,則此時(shí)有,又因?yàn)?/span>,即,此時(shí),則,所以當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)P1,使,此時(shí)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2);②當(dāng)時(shí),則,則,則,又因?yàn)?/span>,則,所以與不相似,此時(shí)點(diǎn)P2不存在;③當(dāng)時(shí),以AD為直徑作,則的半徑,圓心O1到y(tǒng)軸的距離,因?yàn)?/span>,所以與y軸相離,不存在點(diǎn)P3,使,
所以綜合可得,只存在一點(diǎn)使與相似。
試題解析:
(1)∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn),
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)探究一:當(dāng)時(shí),W有最大值,
∵拋物線(xiàn)交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,
∴,
∴,
當(dāng)時(shí),作軸于M,如圖所示:
則,
∵,
∴,
∵
,
∴
∴當(dāng)時(shí),W有最大值,,
探究二:存在,分三種情況:
①當(dāng)時(shí),作軸于E,如圖所示:
則,
∴
∴,
∴
∵軸,軸,
∴,
∴,
∴
∴,,
此時(shí),又因?yàn)?/span>,
∴,
∴,
∴,
∴當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)P1,使,此時(shí)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2);
②當(dāng)時(shí),則,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴與不相似,此時(shí)點(diǎn)P2不存在;
③當(dāng)時(shí),以AD為直徑作,則的半徑,圓心O1到y(tǒng)軸的距離,∵,
∴與y軸相離,不存在點(diǎn)P3,使,
∴綜上所述,只存在一點(diǎn)使與相似。
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(1)第一批該款式T恤衫每件進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)老板以每件120元的價(jià)格銷(xiāo)售該款式T恤衫,當(dāng)?shù)诙鶷恤衫售出 時(shí),出現(xiàn)了滯銷(xiāo),于是決定降價(jià)促銷(xiāo),若要使第二批的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于650元,剩余的T恤衫每件售價(jià)至少要多少元?(利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))
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