Question

（1997•海淀區(qū)）關(guān)于x的方程x²-mx-

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m-1=0①與2x²-（m+6）x-m²+4=0②，若方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于方程②的一個(gè)整數(shù)根，求m的值．

Answer 1

分析：設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，進(jìn)而表示出兩根的平方和，第二個(gè)方程表示出兩解，分別等于表示出的平方和列出關(guān)于m的方程，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到滿足題意m的值．

解答：解：設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，那么α+β=m，αβ=-

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m-1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2（-

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m-1）=m²+

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2

m+2，
把方程②變形為[2x+（m-2）][x-（m+2）]=0，
解得：x₁=-

m-2

2

，x₂=m+2，
若x₁為整數(shù)根，根據(jù)題意，得m²+

3

2

m+2=-

m-2

2

，
解這個(gè)方程，得m=-1，
此時(shí)x₁=-

-1-2

2

=

3

2

不是整數(shù)根，不合題意，舍去，
若x₂為整數(shù)根，根據(jù)題意，得m²+

3

2

m+2=m+2，
解得：m=0或m=-

1

2

，
當(dāng)m=0時(shí)，方程②的x₂=0+2=2是整數(shù)，且△₁=0²-4×（-1）＞0，方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意．
當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，方程②的x₂=-

1

2

+2=

3

2

不是整數(shù)，不合題意，舍去，
∴m=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．