Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD的過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB.

（1）求證：DC為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）

【解析】解：（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC�！唷螪AC=∠OCA。

∴OC∥AD。

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半徑，∴DC為⊙O的切線。

（2）連接BC，則∠ACB=90°。

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB。

∴�！郃C²=AD?AB。

∵⊙O的半徑為3，AD=4，∴AB=6。

∴。

（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn)。

（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題。